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Ensembles, logique formelle, axiomes

De : Daneel

Date : Samedi 6 avril 2002 à 13:05:19

Le premier raisonnement n'est pas correct. Il aurait éventuellement l'air correct pour quelqu'un qui n'y réfléchit pas du tout parce qu'il est présenté comme un problème de théorie des ensembles. Il est incorrect et donne un résultat faux. Que les ensembles {chats} et {socrate} soient des sous ensembles de {buveurs de lait} n'implique rien sur les intersections éventuelles de {chats} et de {socrate}.

Le deuxième raisonnement est correct et conduit à un résultat juste. {chats} est inclus dans {qui marchent à 4 pattes}. Puisque {socrate} n'est pas inclus dans {qui marchent à 4 pattes}, {socrate} n'est pas inclus dans {chats}.

Où sont les axiomes dans l'histoire ? Les mêmes axiomes (logique formelle) sont sensés être utilisés pour ces deux raisonnements, mais celui qui a fait le premier a commis une erreur.

Tu sous entends alors que le premier raisonnement pourrait être correct avec un aute choix d'axiomes. Pour être correct, il faut (bien que ça ne suffise pas) que son résultat soit juste. Or, il est connu au départ que {socrate} n'est pas inclu dans {chats}. Comme le résultat dit que si, il y a contradiction. Pour que le raisonnement soit juste, il faut abandonner le premier axiome de la logique qui est : "une proposition est soit vraie, soit fausse". En effet, {socrate} serait à la fois inclus et exclus de {chats}.

Reste à savoir si une telle logique te permet de réfléchir, d'arriver à des résultats exploitables, si elle a un intérêt.

Daneel, qui sirote son jus de positrons matinal...

Ce message a été lu 5289 fois

Réponses à ce message :

Mélophage 2002-04-06 19:05:32	Il s'enfermait toute la journée au fond d'son atelier pour faire des expériences	Détails
	Comment peut on savoir si Socrate n'est pas un chat qui marche sur deux pattes, si on part de cet axiome ? Vous me direz, c'est qu'un n'exemple pis les chats ont 4 pattes c'est logique. Ben oui c'est qu'un exemple mais il est pas mauvais, qu'est ce qui nous garantit que les chats ont 4 pattes sinon le fait de l'établir en critere dans une définition toute arbitraire (comme toute définition mais euh en pire voilà) du chat ? Je crois que Poppers disait que dans la science il est seulement possible de prouver le faux, par exemple pour changer un peu des matous avec "Il n'existe pas de corbeau blanc", improuvable tant qu'on a pas vu le dit corbeau. Tout partant donc d'un préjugé. (je suis pas sûr(e) du nom du philosophe par contre) Je rajoute donc : reste à savoir sur quoi l'on pourrait légitimement baser une telle logique sans se prendre le gros orteil dans une faille à se triturer le neurone jusqu'à l'extase ou la migraine éternelle. J'en profite pour mettre mon smiley psychopathosadique préféré : :^) (oui j'ai craqué dessus chacun ses points faibles hein) Mélophage, Défenseur(se) des chats révolutionaires, des bisounours et écureuils black métalleux et chaotiques neutres ou mauvais, et de la symbiose des lutins et des trolls. Ce message a été lu 5038 fois

Fladnag 2002-04-06 23:04:10	Précision	Détails
	Si en plus tu nomme ton chat Socrate, tout se complique ;o) Fladnag, qui cherche la p'tite bete Ce message a été lu 5320 fois

Daneel 2002-04-06 23:43:02	Euh...	Détails
	Je dois répondre sérieusement ou c'était juste pour embêter le monde ? Parce que s'il faut que j'explique, je le peux, c'est très facile. Daneel, qui ne voudrait pas rentrer dans des détails inutiles Ce message a été lu 4798 fois

Estellanara 2002-04-08 00:06:36	D'ailleurs Michael le chat...	Détails
	...marche occasionellement sur deux pattes et part dans un pas de danse quand il veut faire semblant de rien après avoir raté une mouche! Mais bon, je ne pense pas qu'on puisse inclure Michael dans l'ensemble "chats représentatifs"... Estellanara, félinophile. Ce message a été lu 5375 fois

kyle 2002-04-08 15:27:14	hi, hi	Détails
	Très drole (sincère) Kyle bon public Ce message a été lu 5502 fois

Mélophage 2002-04-10 03:35:40	Y'a trois millions d'années que je dormais dans la tourbe	Détails
	Mais après quelques plombes (désolée) je réponds donc... Même si mon neurone a quelque peu légérement beaucoup buggué, ça n'était pas dans le but d'emmerder le monde, simplement que Socrate puisse ou pas être compris et non compris à la fois dans le système, tout raisonnement ne vaut que si ses axiomes de base sont juste... Et la question certes légérement décalée avec le sujet, j'ai quelque peu buggué comme dit plus haut, était donc peut on s'assurer que le moindre axiome non "artificiel" (réservé à un domaine de théorie pure) soit juste, puisque l'univers nous dépasse de bien des façons, et que nous n'avons finalement aucune assurance absolue ? Battu et rebattu, je l'accorde aussi A priori à oublier, soyez magnanimes envers un pauvre foetus récemment né et innocent Mélophage, mea culpa Ce message a été lu 4958 fois

Daneel 2002-04-10 20:35:51	Axiomes	Détails
	Un peu de vocabulaire pour commencer, juste trois mots. Axiome : proposition acceptée comme vraie sans démonstration. Proposition : Enoncé décidable. Décidable : qui peut être soit Vrai, soit Faux. Un axiome n'a pas à être juste (c'est-à-dire correspondre à ce que nous avons l'habitude de percevoir). Je donne un exemple qui rappellera des souvenirs à ceux qui ont suivi le cours de maths en 4ème. Je parlerai donc de l'axiome d'Euclide, puis d'un axiome non-Euclidien. Je mettrai en évidence l'effet de ces axiomes sur la géométrie. Finalement, j'expliquerai ce qui motive le choix d'un axiome. 1) Axiome d'Euclide : --------------------- "Par un point, il passe une et une seule droite parallèle à une droite donnée." Faites-en l'expérience, tracez une droite (AB) sur une feuille de papier, choisissez un point P n'importe où sur la feuille, et voyez combien de parallèles à (AB) passant par P vous pouvez tracer. Vous y arriverez toujours (quite à déboder sur la table). Et il n'en aura jamais plus d'une. On est tenté de croire que l'axiome d'Euclide est "vrai" parce qu'il correspond à une réalité. 2) Un axiome non-Euclidien est : -------------------------------- "Par un point, il ne passe aucune droite parallèle à une droite donnée." A priori, c'est faux, on vient de le voir avec notre feuille de papier. Seulement, par définition, un axiome est forcément vrai. Il va falloir trouver autre chose qu'une feuille de papier. Tracez une circonférence dessus (cercle dont le centre est le centre du ballon, comme les méridiens terrestres). Cette circonférence est une droite puisqu'elle ne tourne pas sur la surface du ballon (c'est la surface elle-même qui tourne). Choisissez un point P, et essayez de tracer une circonférence passant par P parallèle à la première. Ca ne marche pas. 3) Effet de l'axiome sur la géométrie ------------------------------------- Si vous vous choisissez l'axiome non-Euclidien, vous ne pouvez plus travailler en géométrie plane, il faut concevoir une autre géométrie. La géométrie sphérique est une des géométries qui peut engendrer cet axiome non Euclidien. En géométrie plane, la somme des mesures des angles d'un triangle égale toujours 180°. En géométrie sphérique, elle dépasse toujours 180°. En géométrie hyperbolique, elle est toujours inférieure à 180°. La géométrie sphérique est celle utilisée pour calculer les voyages en avion. Par exemple. Il faut savoir que les axiomes non-Euclidiens ont permi la création du système non-Newtonien d'Einstein (la Relativité Générale) qui prend en compte la courbure sphérique ou hyperbolique de l'espace-temps pour expliquer la dymanique des corps en mouvements. Einstein a expliqué ce que ne pouvaient expliquer les raisonnements fondés sur Euclide : perturbations de l'orbite de mercure, lentilles gravitationnelles, constance de la vitesse de la lumière... 4) Quel axiome choisir ? ------------------------ L'axiome d'Euclide permet de résoudre de nombreux problèmes de la vie courante, l'axiome non-euclidien paraît moins utile mais a bouleversé la science (et donc la technologie dont vous profitez tous). Vous pouvez travailler avec des axiomes si les résultats des réflexions s'appuyant sur ces axiomes prédisent correctement ce que vous voulez prédire. Cela sous entend d'avoir vérifié la concordance théorie / expérience un nombre statistiquement suffisant de fois. On pourrait dire que cet axiome est "juste" pour reprendre le terme de Foetus. Si vous n'arrivez pas à prédire systématiquement et correctement, c'est que votre axiome ne permet pas de raisonner comme vous le devriez. Cet axiome n'est pas "juste". Il ne faut donc pas se fier à ce que nous croyons connaître, car nos connaissances sont souvent incapables de résoudre de nombreux problèmes. Le sujet est ouvert. Si quelqu'un souhaite parler de cela en dehors du champ mathématique que nombre d'entre vous trouvent trop abstrait pour décrire la réalité humaine, je me ferai un plaisir d'en débattre avec eux. En effet, les relations humaines ont elles aussi des axiomes. Daneel, trop long, comme d'hab... Ce message a été lu 5027 fois

Mélophage 2002-04-11 04:27:36	Bonne influence	Détails
	Tu es le bain de jouvence ou plutôt le super aspirateur de ce recoin abandonné de mon neurone qui s'occupe des maths. Enfin qui les as posées là pour aller chercher des allumettes quelque part dans une galaxie inconnue. Je ne trouve pas ça trop long pour ma part, il n'en faut en tout cas pas moins pour déblayer ce même cagibi neuronal, le recoin du neurone revenant de son étoile à allumettes car ébranlé par cette soudaine résurrection cérébrale. Bref, laissons là ma vie intra cranniène, faisons simple : pour moi c'est pas trop long et c'est interessant, d'autant plus que j'ai peu de chances de l'apprendre ailleurs. Mélophage, je vois la lumière, je vois le soleil que je cherche au milieu de la nuit (ou un truc comme ça). Ce message a été lu 5244 fois

Daneel 2002-04-11 10:19:26	Vieille géronte cacochyme mélophage	Détails
	J'ai remarqué depuis quelques messages que tu avais grandi, passant mine de rien du stade foetal à un stade infantile. Ton pseudo nous indique-t-il le temps qu'il nous reste avant que tu désertes ce forum ? Daneel, qui attend avec crainte le message de "cadavre mélophage"... Ce message a été lu 5311 fois

Mélophage 2002-04-11 13:09:07	C'est bien le temps de chargement ça permet de comprendre l'objet	Détails
	Décidément on ne peut pas dire que tu épargnes mon neurone, Ô toi le plus matinal des respondateurs à mes digressions nocturnes. N'ais crainte, je ne grandirai plus sauf inattendu (vu la stabilité de mes personnages, à peu près tous chaotiques neutres, lire peut être plus). L'adolescence, l'adulte tout ça je le laisse aux êtres divers et bizarres qui en veulent bien, puisque comme tout individu issu de son monde, Mélophage existe mais ne vit pas au sens où nous l'entendons. Je ne serai roleplayement parlant nul autre cadavre que le cadavre d'enfant que j'incarne parfois sur le chat, tu en as la solennelle et absolue promesse (violons). Sur ce j'arrête de radoter mon existence-roleplay, avant de m'enliser en digressions sur mondes et personnages. bonne journée courageux vétéran matinal, et bonne journée aux êtres plus tardifs également Mélophage, né noctambule. PS : tu peux donner des précisions sur le plan hyperbolique ? J'arrive à en imaginer les triangles au régime, mais au niveau applications, axiomes, etc ? Ce message a été lu 5250 fois

Scytale 2002-04-11 14:19:25	Foetus en état de décomposotion B	Détails
	(Communément appellée Décomposition Avant C) Missive du Tleilax a mélophage vieillissant(e) Aprés étude de nos dossiers génétique, il se trouve qu'un de nos Ghola cherhceurs spécialisé dans l'études de la Flaquus Melophagus nous a raméné des échantillons biologiques tout à fait intéressants. Outre le fait que notre chercheur a dû être régénéré en raison de graves séquelles (empoisonnement, morsures, brûlures..etc) au cours de l'étude, il se trouve que les cellules réagissent favorablement aux examens préliminaires, à la conditions que nous les alimentions de Black Métal à haute dose. De ces tests, nous tirons la conclusion qu'en cas de dégénrescence cellulaire prématurée, vous serez re-clonable sans difficulté. Ci-joint, les modalités d'assurance-putréfaction, sachant qu'une tâche de substance neuronale quelqonque fera foi. Bien à vous, Le service Scientifique. Scytale. 8-) Ce message a été lu 5347 fois

Daneel 2002-04-12 00:00:24	Hyperbolisation	Détails
	Je ne dirai pas grand chose sur la géométrie hyperbolique (GH) car je n'y connais pas grand chose tout simplement. Je ne lui connais pas d'autres applications que les calculs de relativité générale dans l'espace-temps d'Einstein Minkowski. I) Commençons par expliciter les axiomes ========================================= 1) Les cinq axiomes d'Euclide ------------------------------ Ils jettent les bases de la géométrie euclidienne (GE). // a- Chaque couple de points définit exactement une droite. b- Tout segment d'extrémités données peut être prolongé dans chaque direction. c- Il est possible de construire un cercle avec n'importe quel point comme centre et n'importe quelle longueur comme rayon. (Ceci implique qu'il n'y a pas de bornes inférieure ou supérieure à la distance. Autrement dit, n'importe quelle distance, aussi grande soit-elle peut toujours être augmentée, et n'importe quelle distance, aussi petite soit-elle peut être partagée.) d- Si deux droites se coupent suivant des angles adjacents égaux, chacun de ces angles est aussi égal à tout autre angle ayant la même origine. e- Etant donnés une droite L et un point en dehors de L, il existe une droite et une seule qui passe par le point, soit dans le même plan que L et lui soit parallèle. \ Définition : deux droites parallèles sont deux droites d'un même plan qui ne se rencontrent pas. 2) Géométrie hyperbolique -------------------------- La géométrie hyperbolique conserve les axiomes a, b, c, d et déroge au 5ème axiome : // e- Etant donné une droite L et un point non situé sur L, il y a au moins 2 droites L1 et L2 qui passent par le point, sont dans le même plan que L et lui sont parallèles. \ 3) L'axiome manquant --------------------- A ces 5 là, on ajoute l'axiome suivant, requis aussi en géométrie Euclidienne (Euclide avait cru le démontrer mais s'était trompé) // 6) Si deux côtés et l'angle formé par les deux côtés d'un triangle sont égaux à ceux d'un autre triangle, les deux triangles sont égaux. \ Avec ces bases, on obtient un espace suffisamment tordu pour qu'on ne puisse l'imaginer avec notre pauvre cerveau (ou neurone, c'est selon), trop habitué à manipuler un espace tridimensionnel Euclidien. Toutefois, on peut tout à fait le traiter mathématiquement. II) Effets bizarres ==================== 1) Théorèmes faux ------------------ Les théorèmes suivants, vrais en GE, sont faux en GH : a- Si deux droites sont parallèles à une 3ème, ces droites sont parallèles entre elle. b- Si deux droites sont parallèles, alors elles sont équidistantes. c- Des droites qui n'ont pas de fin (droites infinies), n'ont pas d'extrémité. 2) L'aire d'une figure ----------------------- La somme des mesures des angles d'un triangle en GH égale toujours moins de 180° (et vaut exactement 180° en GE). Contrairement à la GE où l'aire d'un triangle vaut la moitié du produit de la longueur d'une base par la longueur de la hauteur qui lui est normale (base * hauteur / 2), et ce quelle que soit la base choisie, l'aire en GH ne peut se calculer ainsi : l'aire dépendrait de la base choisie ! Le même problème se pose avec les carrés (qui ont toujours un angle aigu et qui, par conséquent, ne sont plus pavables) et généralement, pour tout polygone. On introduit la notion de déficit. Le déficit "d" d'un triangle vaut 180° - la somme de ses mesures d'angles. Par extension, on peut parler de déficit d'un polygône une fois qu'on l'a divisé en triangles (qui ne se croisent pas). Si on multiplie "d" (en °) par une constante "k" (en m²/°), on obtient un résultat qui vérifie toutes les conditions d'une mesure d'Aire. Les aires deviennent donc très bizarres en GH. III) La courbure de l'espace-temps =================================== L'espace-temps est "courbé" et ses rayons de courbure sont très grands (sauf à proximité des trous noirs). C'est la répartition de la matière-énergie qui courbe l'espace. Par exemple, la "forte" densité de matière que représente le Soleil déforme l'espace autour de lui. Il faut savoir que notre Terre, et toutes les planètes, décrivent une droite autour de notre Soleil. Cette droite est quadridimensionnelle dans un espace courbe. Nous, pauvres humains, l'avons interprété comme une ellipse. Et ca marche plutôt bien. Seulement, notre vision Euclidienne de l'espace est insuffisante pour interpréter l'orbite de Mercure, planète la plus proche du Soleil et donc affectée par la courbure locale plus forte de l'espace-temps. En conséquence, l'orbite apparente de cette planète s'en trouve déformée. Elle n'est plus une simple ellipse, mais une ellipse en rotation. Mercure, elle, s'en fiche pas mal. Elle continue de filer droit devant elle dans son espace courbe. Dans une zone suffisamment petite pour que la courbure de l'espace soit négligeable, l'approximation Euclidienne est très souvent largement suffisante (la preuve, nous avons cru pendant des milliers d'années que l'Univers était euclidien). Ne vous tracassez pas à dessiner les plans sphériques de votre maison pour compenser l'effet hyperbolique introduit par la gravitation solaire, lunaire et terrestre... Voilà, le peu de choses que je sais au sujet de la géométrie hyperbolique. A priori, ça ne te servira pas à grand chose, juste à faire prendre conscience que nous sommes trop facilement abusés par les "évidences". Daneel, qui va se coucher maintenant Ce message a été lu 5107 fois

Daneel 2002-04-12 00:00:57	Hyperbolisation	Détails
	Je ne dirai pas grand chose sur la géométrie hyperbolique (GH) car je n'y connais pas grand chose tout simplement. Je ne lui connais pas d'autres applications que les calculs de relativité générale dans l'espace-temps d'Einstein Minkowski. I) Commençons par expliciter les axiomes ========================================= 1) Les cinq axiomes d'Euclide ------------------------------ Ils jettent les bases de la géométrie euclidienne (GE). // a- Chaque couple de points définit exactement une droite. b- Tout segment d'extrémités données peut être prolongé dans chaque direction. c- Il est possible de construire un cercle avec n'importe quel point comme centre et n'importe quelle longueur comme rayon. (Ceci implique qu'il n'y a pas de bornes inférieure ou supérieure à la distance. Autrement dit, n'importe quelle distance, aussi grande soit-elle peut toujours être augmentée, et n'importe quelle distance, aussi petite soit-elle peut être partagée.) d- Si deux droites se coupent suivant des angles adjacents égaux, chacun de ces angles est aussi égal à tout autre angle ayant la même origine. e- Etant donnés une droite L et un point en dehors de L, il existe une droite et une seule qui passe par le point, soit dans le même plan que L et lui soit parallèle. \ Définition : deux droites parallèles sont deux droites d'un même plan qui ne se rencontrent pas. 2) Géométrie hyperbolique -------------------------- La géométrie hyperbolique conserve les axiomes a, b, c, d et déroge au 5ème axiome : // e- Etant donné une droite L et un point non situé sur L, il y a au moins 2 droites L1 et L2 qui passent par le point, sont dans le même plan que L et lui sont parallèles. \ 3) L'axiome manquant --------------------- A ces 5 là, on ajoute l'axiome suivant, requis aussi en géométrie Euclidienne (Euclide avait cru le démontrer mais s'était trompé) // 6) Si deux côtés et l'angle formé par les deux côtés d'un triangle sont égaux à ceux d'un autre triangle, les deux triangles sont égaux. \ Avec ces bases, on obtient un espace suffisamment tordu pour qu'on ne puisse l'imaginer avec notre pauvre cerveau (ou neurone, c'est selon), trop habitué à manipuler un espace tridimensionnel Euclidien. Toutefois, on peut tout à fait le traiter mathématiquement. II) Effets bizarres ==================== 1) Théorèmes faux ------------------ Les théorèmes suivants, vrais en GE, sont faux en GH : a- Si deux droites sont parallèles à une 3ème, ces droites sont parallèles entre elle. b- Si deux droites sont parallèles, alors elles sont équidistantes. c- Des droites qui n'ont pas de fin (droites infinies), n'ont pas d'extrémité. 2) L'aire d'une figure ----------------------- La somme des mesures des angles d'un triangle en GH égale toujours moins de 180° (et vaut exactement 180° en GE). Contrairement à la GE où l'aire d'un triangle vaut la moitié du produit de la longueur d'une base par la longueur de la hauteur qui lui est normale (base * hauteur / 2), et ce quelle que soit la base choisie, l'aire en GH ne peut se calculer ainsi : l'aire dépendrait de la base choisie ! Le même problème se pose avec les carrés (qui ont toujours un angle aigu et qui, par conséquent, ne sont plus pavables) et généralement, pour tout polygone. On introduit la notion de déficit. Le déficit "d" d'un triangle vaut 180° - la somme de ses mesures d'angles. Par extension, on peut parler de déficit d'un polygône une fois qu'on l'a divisé en triangles (qui ne se croisent pas). Si on multiplie "d" (en °) par une constante "k" (en m²/°), on obtient un résultat qui vérifie toutes les conditions d'une mesure d'Aire. Les aires deviennent donc très bizarres en GH. III) La courbure de l'espace-temps =================================== L'espace-temps est "courbé" et ses rayons de courbure sont très grands (sauf à proximité des trous noirs). C'est la répartition de la matière-énergie qui courbe l'espace. Par exemple, la "forte" densité de matière que représente le Soleil déforme l'espace autour de lui. Il faut savoir que notre Terre, et toutes les planètes, décrivent une droite autour de notre Soleil. Cette droite est quadridimensionnelle dans un espace courbe. Nous, pauvres humains, l'avons interprété comme une ellipse. Et ca marche plutôt bien. Seulement, notre vision Euclidienne de l'espace est insuffisante pour interpréter l'orbite de Mercure, planète la plus proche du Soleil et donc affectée par la courbure locale plus forte de l'espace-temps. En conséquence, l'orbite apparente de cette planète s'en trouve déformée. Elle n'est plus une simple ellipse, mais une ellipse en rotation. Mercure, elle, s'en fiche pas mal. Elle continue de filer droit devant elle dans son espace courbe. Dans une zone suffisamment petite pour que la courbure de l'espace soit négligeable, l'approximation Euclidienne est très souvent largement suffisante (la preuve, nous avons cru pendant des milliers d'années que l'Univers était euclidien). Ne vous tracassez pas à dessiner les plans sphériques de votre maison pour compenser l'effet hyperbolique introduit par la gravitation solaire, lunaire et terrestre... Voilà, le peu de choses que je sais au sujet de la géométrie hyperbolique. A priori, ça ne te servira pas à grand chose, juste à faire prendre conscience que nous sommes trop facilement abusés par les "évidences". Daneel, qui va se coucher maintenant Ce message a été lu 5211 fois

Mélophage 2002-04-12 05:46:47	Par pitié...	Détails
	Ne mets pas "je n'y connais pas grand chose" après cet exposé, lorsque tu fais ça mon neurone s'enferme dans le placard en disant que c'est un être rustre et inférieur et je dois l'appater au black métal durant des heures pour qu'il veuille bien s'en remettre euh ben voilà c'est tout, et merci aussi Mélophage, Couveur de lambeau cérébral. Ce message a été lu 5390 fois

Daneel 2002-04-12 20:04:06	A EFFACER	Détails
	Le message père de celui que vous lisez est un doublon. Un problème de maintenance de notre hébergeur m'a fait poster deux fois sans m'en rendre compte (la page de confirmation d'envoi du message ne s'affichait pas). Le père et le fils doivent être suppimés physiquement ou ignorés logiquement, pour le plus grand bonheur de notre arborscence. Daneel, parasite Ce message a été lu 5280 fois

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