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De : Daneel  Date : Mercredi 10 avril 2002 à 20:35:51 | ||
| Un peu de vocabulaire pour commencer, juste trois mots. Axiome : proposition acceptée comme vraie sans démonstration. Proposition : Enoncé décidable. Décidable : qui peut être soit Vrai, soit Faux. Un axiome n'a pas à être juste (c'est-à-dire correspondre à ce que nous avons l'habitude de percevoir). Je donne un exemple qui rappellera des souvenirs à ceux qui ont suivi le cours de maths en 4ème. Je parlerai donc de l'axiome d'Euclide, puis d'un axiome non-Euclidien. Je mettrai en évidence l'effet de ces axiomes sur la géométrie. Finalement, j'expliquerai ce qui motive le choix d'un axiome. 1) Axiome d'Euclide : --------------------- "Par un point, il passe une et une seule droite parallèle à une droite donnée." Faites-en l'expérience, tracez une droite (AB) sur une feuille de papier, choisissez un point P n'importe où sur la feuille, et voyez combien de parallèles à (AB) passant par P vous pouvez tracer. Vous y arriverez toujours (quite à déboder sur la table). Et il n'en aura jamais plus d'une. On est tenté de croire que l'axiome d'Euclide est "vrai" parce qu'il correspond à une réalité. 2) Un axiome non-Euclidien est : -------------------------------- "Par un point, il ne passe aucune droite parallèle à une droite donnée." A priori, c'est faux, on vient de le voir avec notre feuille de papier. Seulement, par définition, un axiome est forcément vrai. Il va falloir trouver autre chose qu'une feuille de papier. Tracez une circonférence dessus (cercle dont le centre est le centre du ballon, comme les méridiens terrestres). Cette circonférence est une droite puisqu'elle ne tourne pas sur la surface du ballon (c'est la surface elle-même qui tourne). Choisissez un point P, et essayez de tracer une circonférence passant par P parallèle à la première. Ca ne marche pas. 3) Effet de l'axiome sur la géométrie ------------------------------------- Si vous vous choisissez l'axiome non-Euclidien, vous ne pouvez plus travailler en géométrie plane, il faut concevoir une autre géométrie. La géométrie sphérique est une des géométries qui peut engendrer cet axiome non Euclidien. En géométrie plane, la somme des mesures des angles d'un triangle égale toujours 180°. En géométrie sphérique, elle dépasse toujours 180°. En géométrie hyperbolique, elle est toujours inférieure à 180°. La géométrie sphérique est celle utilisée pour calculer les voyages en avion. Par exemple. Il faut savoir que les axiomes non-Euclidiens ont permi la création du système non-Newtonien d'Einstein (la Relativité Générale) qui prend en compte la courbure sphérique ou hyperbolique de l'espace-temps pour expliquer la dymanique des corps en mouvements. Einstein a expliqué ce que ne pouvaient expliquer les raisonnements fondés sur Euclide : perturbations de l'orbite de mercure, lentilles gravitationnelles, constance de la vitesse de la lumière... 4) Quel axiome choisir ? ------------------------ L'axiome d'Euclide permet de résoudre de nombreux problèmes de la vie courante, l'axiome non-euclidien paraît moins utile mais a bouleversé la science (et donc la technologie dont vous profitez tous). Vous pouvez travailler avec des axiomes si les résultats des réflexions s'appuyant sur ces axiomes prédisent correctement ce que vous voulez prédire. Cela sous entend d'avoir vérifié la concordance théorie / expérience un nombre statistiquement suffisant de fois. On pourrait dire que cet axiome est "juste" pour reprendre le terme de Foetus. Si vous n'arrivez pas à prédire systématiquement et correctement, c'est que votre axiome ne permet pas de raisonner comme vous le devriez. Cet axiome n'est pas "juste". Il ne faut donc pas se fier à ce que nous croyons connaître, car nos connaissances sont souvent incapables de résoudre de nombreux problèmes. Le sujet est ouvert. Si quelqu'un souhaite parler de cela en dehors du champ mathématique que nombre d'entre vous trouvent trop abstrait pour décrire la réalité humaine, je me ferai un plaisir d'en débattre avec eux. En effet, les relations humaines ont elles aussi des axiomes. Daneel, trop long, comme d'hab... Ce message a été lu 5026 fois | ||
Axiomes
| Réponses à ce message : |
 18 Bonne influence - Mélophage (Jeu 11 avr 2002 à 04:27) 19 Vieille géronte cacochyme mélophage - Daneel (Jeu 11 avr 2002 à 10:19) 20 C'est bien le temps de chargement ça permet de comprendre l'objet - Mélophage (Jeu 11 avr 2002 à 13:09) 21 Hyperbolisation - Daneel (Ven 12 avr 2002 à 00:00) 22 A EFFACER - Daneel (Ven 12 avr 2002 à 20:04) 21 Hyperbolisation - Daneel (Ven 12 avr 2002 à 00:00) 22 Par pitié... - Mélophage (Ven 12 avr 2002 à 05:46) 21 Foetus en état de décomposotion B - Scytale (Jeu 11 avr 2002 à 14:19) |
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