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De : Daneel  Ecrire à Daneel
Date : Vendredi 12 avril 2002 à 00:00:57
Je ne dirai pas grand chose sur la géométrie hyperbolique (GH) car je n'y connais pas grand chose tout simplement. Je ne lui connais pas d'autres applications que les calculs de relativité générale dans l'espace-temps d'Einstein Minkowski.



I) Commençons par expliciter les axiomes
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1) Les cinq axiomes d'Euclide
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Ils jettent les bases de la géométrie euclidienne (GE).

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a- Chaque couple de points définit exactement une droite.

b- Tout segment d'extrémités données peut être prolongé dans chaque direction.

c- Il est possible de construire un cercle avec n'importe quel point comme centre et n'importe quelle longueur comme rayon. (Ceci implique qu'il n'y a pas de bornes inférieure ou supérieure à la distance. Autrement dit, n'importe quelle distance, aussi grande soit-elle peut toujours être augmentée, et n'importe quelle distance, aussi petite soit-elle peut être partagée.)

d- Si deux droites se coupent suivant des angles adjacents égaux, chacun de ces angles est aussi égal à tout autre angle ayant la même origine.

e- Etant donnés une droite L et un point en dehors de L, il existe une droite et une seule qui passe par le point, soit dans le même plan que L et lui soit parallèle.
\
Définition : deux droites parallèles sont deux droites d'un même plan qui ne se rencontrent pas.


2) Géométrie hyperbolique
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La géométrie hyperbolique conserve les axiomes a, b, c, d et déroge au 5ème axiome :

//
e- Etant donné une droite L et un point non situé sur L, il y a au moins 2 droites L1 et L2 qui passent par le point, sont dans le même plan que L et lui sont parallèles.
\

3) L'axiome manquant
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A ces 5 là, on ajoute l'axiome suivant, requis aussi en géométrie Euclidienne (Euclide avait cru le démontrer mais s'était trompé

//
6) Si deux côtés et l'angle formé par les deux côtés d'un triangle sont égaux à ceux d'un autre triangle, les deux triangles sont égaux.
\
Avec ces bases, on obtient un espace suffisamment tordu pour qu'on ne puisse l'imaginer avec notre pauvre cerveau (ou neurone, c'est selon), trop habitué à manipuler un espace tridimensionnel Euclidien. Toutefois, on peut tout à fait le traiter mathématiquement.



II) Effets bizarres
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1) Théorèmes faux
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Les théorèmes suivants, vrais en GE, sont faux en GH :

a- Si deux droites sont parallèles à une 3ème, ces droites sont parallèles entre elle.

b- Si deux droites sont parallèles, alors elles sont équidistantes.

c- Des droites qui n'ont pas de fin (droites infinies), n'ont pas d'extrémité.


2) L'aire d'une figure
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La somme des mesures des angles d'un triangle en GH égale toujours moins de 180° (et vaut exactement 180° en GE).

Contrairement à la GE où l'aire d'un triangle vaut la moitié du produit de la longueur d'une base par la longueur de la hauteur qui lui est normale (base * hauteur / 2), et ce quelle que soit la base choisie, l'aire en GH ne peut se calculer ainsi : l'aire dépendrait de la base choisie !

Le même problème se pose avec les carrés (qui ont toujours un angle aigu et qui, par conséquent, ne sont plus pavables) et généralement, pour tout polygone.

On introduit la notion de déficit. Le déficit "d" d'un triangle vaut 180° - la somme de ses mesures d'angles. Par extension, on peut parler de déficit d'un polygône une fois qu'on l'a divisé en triangles (qui ne se croisent pas). Si on multiplie "d" (en ° par une constante "k" (en m²/°, on obtient un résultat qui vérifie toutes les conditions d'une mesure d'Aire.

Les aires deviennent donc très bizarres en GH.



III) La courbure de l'espace-temps
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L'espace-temps est "courbé" et ses rayons de courbure sont très grands (sauf à proximité des trous noirs). C'est la répartition de la matière-énergie qui courbe l'espace. Par exemple, la "forte" densité de matière que représente le Soleil déforme l'espace autour de lui. Il faut savoir que notre Terre, et toutes les planètes, décrivent une droite autour de notre Soleil. Cette droite est quadridimensionnelle dans un espace courbe. Nous, pauvres humains, l'avons interprété comme une ellipse. Et ca marche plutôt bien.

Seulement, notre vision Euclidienne de l'espace est insuffisante pour interpréter l'orbite de Mercure, planète la plus proche du Soleil et donc affectée par la courbure locale plus forte de l'espace-temps. En conséquence, l'orbite apparente de cette planète s'en trouve déformée. Elle n'est plus une simple ellipse, mais une ellipse en rotation. Mercure, elle, s'en fiche pas mal. Elle continue de filer droit devant elle dans son espace courbe.

Dans une zone suffisamment petite pour que la courbure de l'espace soit négligeable, l'approximation Euclidienne est très souvent largement suffisante (la preuve, nous avons cru pendant des milliers d'années que l'Univers était euclidien). Ne vous tracassez pas à dessiner les plans sphériques de votre maison pour compenser l'effet hyperbolique introduit par la gravitation solaire, lunaire et terrestre...

Voilà, le peu de choses que je sais au sujet de la géométrie hyperbolique. A priori, ça ne te servira pas à grand chose, juste à faire prendre conscience que nous sommes trop facilement abusés par les "évidences".


Daneel, qui va se coucher maintenant


  
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